（2014•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，0），B（1，0），C（m，n），且△ABC的周长为22+2．（1）求证：点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线l：mx+2ny-2=0．

Question

（2014•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，0），B（1，0），C（m，n），且△ABC的周长为2√(2)+2．
（1）求证：点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；
（2）设直线l：mx+2ny-2=0．
①判断直线l与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；
②过点A作直线l的垂线，垂足为H．证明：点H在定圆上，并求出定圆的方程．

Answer 1

（1）证明：依题意，CA+CB=2√(2)＞AB=2，
根据椭圆的定义知，点C的轨迹是以A（-1，0），B（1，0）为焦点，
2√(2)为长轴的椭圆（不含长轴的两个端点），
∴点C在一个椭圆上运动．…（2分）
设该椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），
依题意知，a=√(2)，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴该椭圆的标准方程为(x2)/(2)+y2＝1．…（4分）
（2）①直线l与（1）中的椭圆相切．
证明如下：
∵C（m，n）在椭圆(x2)/(2)+y2＝1上，∴(m2)/(2)+n2＝1，
由

mx+2my−2＝0

(x2)/(2)+y2＝1

，得（m²+2n²）x²-4mx+4mx+4（1-n²）=0，…（6分）
判别式△=16m²-16（m²+2n²）（1-n²）
=16m²-16（m²+2-m²）•