已知椭圆标准方程上一点p.f1f2为焦点若角f1pf2=θ.求三角形f1pf2的面积.求绝对值PF1*PF2=?我知道这是个定理麻烦给出证明

Question

已知椭圆标准方程上一点p.f1f2为焦点若角f1pf2=θ.求三角形f1pf2的面积.求绝对值PF1*PF2=?我知道这是个定理 麻烦给出证明

Answer 1

为叙述方便,记 m=|PF1| ,n=|PF2| ,
由定义,m+n=|PF1|+|PF2|=2a ,平方得 m^2+n^2+2mn=4a^2 ,-------------（1）
由余弦定理,|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cosθ=|F1F2|^2,
即 m^2+n^2-2mncosθ=(2c)^2,--------------（2）
以上两式相减,得 2mn(1+cosθ)=4(a^2-c^2)=4b^2,
因此 mn=2b^2 / (1+cosθ) ,
所以 SF1PF2=1/2*|PF1|*|PF2|*sinθ=1/2*mn*sinθ
=b^2*sinθ / (1+cosθ)
=b^2*2sin(θ/2)cos(θ/2) / [2(cos(θ/2))^2]
=b^2*tan(θ/2) .
前面已证 |PF1|*|PF2|=2b^2 / (1+cosθ) .