1.定积分：0到1,（xe^x)/(1+x)^2dx2.证明：arctanx+arctan(1/x)=π/23.利用定积分表示下列极限：lim(n→无穷大）（1/根号（4n^2-1^2)+1/根号（4n^2-2^2)+1/根号（4n^2-3^2)+……+1/根号（4n^2-n^2)4.求不定积分：（1

Question

1.定积分：0到1,（xe^x)/(1+x)^2 dx
2.证明：arctanx+arctan(1/x)=π/2
3.利用定积分表示下列极限：lim(n→无穷大）（1/根号（4n^2-1^2)+1/根号（4n^2-2^2)+1/根号（4n^2-3^2)+……+1/根号（4n^2-n^2)
4.求不定积分：
（1）∫ （2x+3)/(x^3+3x-10) dx
(2) ∫ (x^11)/(x^8+3x^4+2)
解那些从高空落体且阻力随速度变大而变大的问题要用到那些数学知识,似乎用高等数学上册的知识不好解,类似的还有热水放在空气里冷却,温度随时间的函数.还有,要达到从容应对自主招生的物理题,数学题等还要准备那些数学知识?

Answer 1

郭敦顒回答：
1.定积分：0到1,（xe^x)/(1+x)^2 dx
0到1,∫（xe^x)/(1+x)^2 dx
对于∫（xe^x)/(1+x)^2 dx,令1+x=u,则dx= d u,x= u－1
∴∫（xe^x)/(1+x)^2 dx=∫[（u－1）e^（u－1）/ u²] d u
∴原函数F（u）= e^（u－1）/ u,
验证：F′（u）=f（u）= [ue^（u－1）－e^（u－1）]/ u²
=（u－1）e^（u－1）/ u²,正确,
∴F（x ）= e^ x/（1+ x）
∴0到1,∫（xe^x)/(1+x)^2 dx= e^ x/（1+ x）|
= e^1/（1+1）－1
= e/2－1=0.359141
2.证明：arctanx+arctan(1/x)=π/2
∵tan(1/x)= ctg x
∴arctanx+arctan(1/x)= arctanx+arc ctg x=π/2
3.利用定积分表示下列极限：lim(n→无穷大）（1/根号（4n^2-1^2)+1/根号（4n^2-2^2)+1/根号（4n^2-3^2)+……+1/根号（4n^2-n^2)
1到n,n→∞,
∫[1/√（4n^2-1^2)+1/√（4n^2-2^2)+1/（4n^2-3^2)+……+1/√（4n^2-n^2) ] dn
下面的不定积分不好解,就回答这些吧.