已知圆心为C的圆经过点A(-3，0)和点B(1，0)两点，且圆心C在直线y=x+1上．(1)求圆C的标准方程．(2)已知线段MN的端点M的坐标(3，4)，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程；(3)是否存

Question

已知圆心为C的圆经过点A(-3，0)和点B(1，0)两点，且圆心C在直线y=x+1上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)已知线段MN的端点M的坐标(3，4)，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程；
(3)是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)设出圆的标准方程，由题意列出三个方程组成方程组，利用消元法求解；
(2)设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程；
(3)假设存在满足条件的直线l并设出其方程和点P、Q的坐标，联立圆的方程和直线方程消元后得到一元二次方程，再由韦达定理得到两根的乘积和判别式的符号求出b的范围，由OP⊥OQ列出关系式，求出b的值注意验证．

(1)设圆C的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²，
由题意列方程组，，
解得，a=-1，b=0，r=2，
∴所求圆的方程为：(x+1)²+y²=4；
(2)设N(x₁，y₁)，G(x，y)，
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得
∴
∵N在圆C上，
∴(2x-2)²+(2y-4)²=4，即(x-1)²+(y-2)²=1，
∴点G的轨迹方程是(x-1)²+(y-2)²=1；
(3)设存在这样的直线l，并设直线方程为：y=x+b
由⇒①
且
同理可得：②；
∵以PQ为直径的圆过原点O，
∴OP⊥OQ，即x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化简得，b²-b-3=0
解得，；
∴经检验存在两条这样的直线l：

【点评】本题是直线与圆的方程综合性题，考查了用待定系数法求圆的方程，用代入法求动点的轨迹方程；对于存在性的处理方法，先假设存在再由题意用设而不求思想和韦达定理列出关系式，注意验证所求值的范围．