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(1)如图1,等腰直角三角形ABC如图摆放,其中∠B=90°,点A(0,3),点B在x轴正半轴上,点C在第一象限,做CD⊥x轴于点D,求证:△ABO≌△BCD(2)在(1)的条件下,若△ABC的面积=8,直接
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(1)如图1,等腰直角三角形ABC如图摆放,其中∠B=90°,点A(0,3),点B在x轴正半轴上,点C在第一象限,做CD⊥x轴于点D,求证:△ABO≌△BCD
(2)在(1)的条件下,若△ABC的面积=8,直接写出点C的坐标.
(3)如图2,若点A(0,3),点B由原点出发沿x轴的正半轴方向运动,将线段AB绕着点B顺时针旋转90度.A点落在点C处,现有一个边长为2正方形EFGH如图摆放:其中点E(4,0),E,H两点都在x轴上,若点C恰好落在正方形EFGH的边上时,则点C的坐标为___(直接写出)
(4)在(3)的条件下,点C随着点B的运动而运动,在整个运动的过程中,点C与点H最小距离为___.

(2)在(1)的条件下,若△ABC的面积=8,直接写出点C的坐标.
(3)如图2,若点A(0,3),点B由原点出发沿x轴的正半轴方向运动,将线段AB绕着点B顺时针旋转90度.A点落在点C处,现有一个边长为2正方形EFGH如图摆放:其中点E(4,0),E,H两点都在x轴上,若点C恰好落在正方形EFGH的边上时,则点C的坐标为___(直接写出)
(4)在(3)的条件下,点C随着点B的运动而运动,在整个运动的过程中,点C与点H最小距离为___.

▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBD=90°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠CBD=∠BAO,
∵∠AOB=∠BDC=90°,
∴△ABO≌△BCD;
(2)如图1,∵△ABC的面积=8,
∴
AB•BC=8,
∵AB=BC,
∴AB=BC=4,
∵A(0,3),
∴OA=3,
∵△ABO≌△BCD,
∴BD=OA=3,
由勾股定理得:BO=
=
,
∴C(3+
,
);
(3)当C落在边EF上时,如图2,
由(1)得:△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=3,EC=OB,
∵E(4,0),
∴OE=4,
∴OB=4-3=1,
∴EC=OB=1,
∴C(4,1);
(4)如图3,当点C在正方形EFGH的对角线上时,点C与点H距离最小,
过C作CP⊥x轴于P,
设OB=x,
∵△AOB≌△BPC,
∴BP=AO=3,PC=OB=x,
∵OE=4,
∴EP=3+x-4=x-1,
∵正方形EFGH边长为2,
∴EH=2,
∴PH=2-EP=2-(x-1)=3-x,
∵∠FHE=45°,
∴△CPH为等腰直角三角形,
∴PC=PH,
∴x=3-x,
x=
,
∴CH=
PC=
.

∴AB=BC,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBD=90°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠CBD=∠BAO,
∵∠AOB=∠BDC=90°,
∴△ABO≌△BCD;
(2)如图1,∵△ABC的面积=8,
∴
1 |
2 |
∵AB=BC,
∴AB=BC=4,
∵A(0,3),
∴OA=3,
∵△ABO≌△BCD,

∴BD=OA=3,
由勾股定理得:BO=
42-32 |
7 |
∴C(3+
7 |
7 |
(3)当C落在边EF上时,如图2,
由(1)得:△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=3,EC=OB,
∵E(4,0),
∴OE=4,
∴OB=4-3=1,
∴EC=OB=1,
∴C(4,1);
(4)如图3,当点C在正方形EFGH的对角线上时,点C与点H距离最小,
过C作CP⊥x轴于P,

设OB=x,
∵△AOB≌△BPC,
∴BP=AO=3,PC=OB=x,
∵OE=4,
∴EP=3+x-4=x-1,
∵正方形EFGH边长为2,
∴EH=2,
∴PH=2-EP=2-(x-1)=3-x,
∵∠FHE=45°,
∴△CPH为等腰直角三角形,
∴PC=PH,
∴x=3-x,
x=
3 |
2 |
∴CH=
2 |
3 |
2 |
2 |
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