已知椭圆c的标准方程：X^2/3+y^2=1.设直线l与椭圆c交于A,B两点、坐标原点o到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.有具体步骤、

Question

已知椭圆c的标准方程：X^2/3+y^2=1.设直线l与椭圆c交于A,B两点、坐标原点o到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.
有具体步骤、

Answer 1

设直线L方程为y=kx+c,所以-y+kx+c=0,
因为o（0,0）到L的距离为：c/√1+k^2=√3/2,c^2/1+k^2=3/4.
将直线带入椭圆方程得：（1/3+k^2)x^2+2kcx+c^2-1=0,
于是：x1+x2=-6kc/1+3k^2,x1*x2=-3(c^2-1)/1+3k^2.
又AB^2=(K^2+1)(x1-x2)^2=(K^2+1)[(x1+x2)^2-4x1*x2]=(36k^2-12c^2+12)/(1+3k^2)^2,
带入c^2/1+k^2=3/4,化简成关于k的关系式得：AB^2=3+4/（1/k+3k)^2<=10/3,
所以|AB|<=√30/3
所以S△AOBmax=1/2*√30/3*√3/2=√10/4