已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P，离心率是.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l过点E(－1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程．

Question

已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上且过点 P ，离心率是 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)直线 l 过点 E (－1,0)且与椭圆 C 交于 A ， B 两点，若| EA |＝2| EB |，求直线 l 的方程．

Answer 1

（1） ＋ y ² ＝1（2） x ＋6 y ＋ ＝0和 x －6 y ＋ ＝0.

(1)设椭圆 C 的标准方程为 ＝1( a ＞ b ＞0)．由已知可得 ，
解得 a ² ＝4， b ² ＝1.
故椭圆 C 的标准方程为 ＋ y ² ＝1.
(2)由已知，若直线 l 的斜率不存在，则过点 E (－1,0)的直线 l 的方程为 x ＝－1，此时令 A ， B ，显然| EA |＝2| EB |不成立．
若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋1)．则 ，
整理得(4 k ² ＋1) x ² ＋8 k ² x ＋4 k ² －4＝0.
由 Δ ＝(8 k ² ) ² －4(4 k ² ＋1)(4 k ² －4)＝48 k ² ＋16＞0.
设 A ( x ₁ ， y ₁ )， B ( x ₂ ， y ₂ )．
故 x ₁ ＋ x ₂ ＝－ ，① x ₁ x ₂ ＝ .②
因为| EA |＝2| EB |，即 x ₁ ＋2 x ₂ ＝－3.③
①②③联立解得 k ＝± .
所以直线 l 的方程为 x ＋6 y ＋ ＝0和 x －6 y ＋ ＝0