（2010•南通模拟）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB=BC=2，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐

Question

（2010•南通模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC=√(2)，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=(π)/(2)．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=√(2)，
从而B（0，0，0），A(√(2)，  0，  0)，C(0，  √(2)，  0)，B₁（0，0，3），A₁(√(2)，  0，  3)，C₁(0，  √(2)，  3)，D((√(2))/(2)，  (√(2))/(2)，  3)，E(0，  (√(2))/(2)，  (3)/(2))．
所以

CA1

＝(√(2)，  −√(2)，  3)，
设AF=x，则F（√(2)，0，x），

CF

＝(√(2)，  −√(2)，  x)，  

B1F

＝(√(2)，  0，  x−3)，  

B1D

＝((√(2))/(2)，  (√(2))/(2)，  0).

CF

•

B1D

＝√(2)•(√(2))/(2)+(−√(2))•(√(2))/(2)+x•0＝0，所以

CF

⊥

B1D

．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由

CF

•

B1F

=2+x（x-3）=0，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B₁DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）．
设平面B₁CF的法向量为n=（x，y，z），则由

n•

CF

＝0

n•

B1F

＝0

得

√(2)x−√(2)y+z＝0

√(2)x−2z＝0

令z=1得n＝(√(2)，  (3)/(2)√(2)，  1)，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos〈n，n1＞＝(1)/(1×√(2+(9)/(2)+1))＝(√(30))/(15)．