直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1＝22，E，F分别是BC，AA1的中点．求（1）异面直线EF和A1B所成的角．（2）三棱锥A-EFC的体积．

Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1＝2√(2)，E，F分别是BC，AA₁的中点．
求（1）异面直线EF和A₁B所成的角．
（2）三棱锥A-EFC的体积．

Answer 1

（1）取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其补角）即为所求．
由题意易知，DF＝√(3)，DE=1，AE＝√(2)
由DE⊥AB、DE⊥AA₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，
∴tan∠DFE＝(DE)/(DF)＝(1)/(√(3))＝(√(3))/(3)，∴∠DFE=30°
即异面直线EF和A₁B所成的角为30°．
（2）V_A-EFC=V_F-AEC-=(1)/(3)•S△AEC•FA＝(1)/(3)•(1)/(2)•√(2)•√(2)•√(2)＝

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）根据三棱锥的体积公式直接求解即可．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本小题主要考查异面直线所成的角，以及体积的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

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