已知直三棱柱ABC-A1B1C1,用一个平面去截他,得截面三角形A2B2C2,且AA2=H1,BB2=H2,CC2=H3,若三角形ABC的面积为S,求证；介于截面与下底面之间的几何体体积V=（1除以3）S(H1+H2+H3).

Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1,用一个平面去截他,得截面三角形A2B2C2,且AA2=H1,BB2=H2,CC2=H3,若三角形ABC的面积为S,求证；介于截面与下底面之间的几何体体积V=（1除以3）S(H1+H2+H3).

Answer 1

过C2做平面A2'B2'C2平行ABC,
∵△ABC的面积为S,设AB边上的高为H,那么S=1/2*AB*H
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥AB→A2B2⊥B2B2'
∴在三棱锥C2-A2B2B2'A2'中,C2到面A2B2B2'A2'即为AB边上的高H
直角梯形A2B2B2'A2'的面积S1=1/2*(A2A2'+B2B2')*AB
=1/2*[(H1-H3)+(H2-H3)]*AB
=(H1+H2-2H3)*AB/2
三棱锥C2-A2B2B2'A2'的体积V1=1/3*S1*H
=1/3*[(H1+H2-2H3)*AB/2]*H
=[(H1+H2-2H3)/3]*[AB*H/2]
=[(H1+H2-2H3)/3]*S
=(H1+H2-2H3)*S/3
直三棱柱ABC-A2'B2'C2的面积V2=SH3
介于截面与下底面之间的几何体体积V=V1+V2
=(H1+H2-2H3)*S/3+SH3
=(H1+H2+H3)*S/3