（2014•松江区三模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点，F是A1C上的点．（1）求异面直线AE与A1C所成角θ的大小（结果用反三

Question

（2014•松江区三模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中点，F是A₁C上的点．
（1）求异面直线AE与A₁C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）若EF⊥A₁C，求线段CF的长．

Answer 1

（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，
即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ．…（2分）
连结E₁C．
在Rt△E₁C₁C中，由E1C1＝(√(2))/(2)，CC₁=2
知A1C＝√((1)/(2)+4)＝(3√(2))/(2)
在Rt△A₁C₁C中，由A₁C₁=1，CC₁=2知A1C＝√(5)…（4分）
在△A₁E₁C中，cosθ＝(((√(2))/(2))2+(√(5))2−((3√(2))/(2))2)/(2•(√(2))/(2)•√(5))＝(1)/(√(10))＝(√(10))/(10)
∴θ＝arccos(√(10))/(10)…（6分）
（2）以A为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF的长为x
则各点的坐标为，E((1)/(2)，(1)/(2)，0)，F(0，1−(√(5))/(5)x，(2√(5))/(5)x)，A₁（0，0，2），C（0，1，0）…（2分）
∴

EF

＝(−(1)/(2)，(1)/(2)−(√(5))/(5)x，(2√(5))/(5)x)，

A1C

＝(0，1，−2)
由EF⊥A₁C知

EF

•

A1C

＝0…（4分）
即(1)/(2)−(√(5))/(5)x−2•(2√(5))/(5)x＝0，解得x＝(√(5))/(10)
∴线段CF的长为(√(5))/(10)…（6分）