已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O.过抛物线上一点P（x,y）向直线y=5/4做垂线,垂足为M,连接FM.（1）求抛物线解析式（2）在直线x=1上有一点F（1,3/4）,求以PM为底边的等腰三角

Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1,1）且过原点O.过抛物线上一点P（x,y）向直线y=5/4做垂线,垂足为M,连接FM.
（1）求抛物线解析式
（2）在直线x=1上有一点F（1,3/4）,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形
（3）对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N（1,t）,使PM=PN恒成立,若存在请求出t的值,若不存在,请说明理由.
这是2010年黄冈市数学中考的最后一道题,不要去在网上搜了答案复制给我,本人没那么傻,就是因为看不懂答案才来问的,想拿分可以,在答案中加入文字说明,能让本人懂即可.
二楼的,想拿分就别这么傲!

Answer 1

1、这类题简单解法.过原点,就是把（0,0）带入函数,可以得到c=0,顶点（1,1）可以设抛物线为y=a(x-1)²+1,展开y=ax²-2ax+a+1,和ax²＋bx+c恒等,可以得到a+1=c=0,a=-1.b=-2a=2.所求抛物线解析式为y=-x²+2x.
2,先弄清几个点.F（1,3／4）不在曲线上.M点坐标设为（m,5／4）,P点和M点横标一样,P（m,-m²＋2m）,PM的中点N在以MP为底边等腰的三角形中很特殊,N的纵标和F的纵标一样,就是3／4,同时N是MP中点,M的纵标+P的纵标=2N的纵标,即5／4+P的纵标=2×3／4,
P的纵标=1／4,可得出P的横标=1+√3／2.要想证明三角形为正三角形,只要证明FP=PM就行.MP=5／4-1／4=1,FP=√[（3／4-1／4）²＋（1-1-√3／2）²]=1.所以FP=PM=MF=1,这是一个正三角形.
3、先设存在,P(m,-m²+2m).N(1,t),M(m,5／4)
PM²=（-m²＋2m-5／4）²
PN²=(m-1)²+(-m²+2m-t)²
二者相等得1.5m²-3m+9／16=t²+(2m²-4m)t
显然t=3／4时上式成立.故所求点存在为（1,3／4）.