已知椭圆C：x平方/a平方+y平方/b平方=1的离心率为根号2/2,双曲线x平方-y平方=1的渐近线与椭圆C有四个交点为顶点的四边形的面积为16,求椭圆方程.

Question

已知椭圆C：x平方/a平方+y平方/b平方=1的离心率为根号2/2,双曲线x平方-y平方=1的渐近线与椭圆C有四个交点
为顶点的四边形的面积为16,求椭圆方程.

Answer 1

由离心率为根号2/2,得到a^2=2c^2
a^2=b^+c^2, b^2=c^2, a^2=2b^2
椭圆方程：x^2/(2b^2)+y^2/b^2=1
双曲线的渐近线方程为：y=±x,
解上面的方程组,
x^2/2+(±x)^2=b^2
x^2=2b^2/3,y^2=x^2=2b^2/3
四个交点
( (√6)b/3, (√6)b/3）；( (√6)b/3, -(√6)b/3）；（- (√6)b/3, (√6)b/3）；（- (√6)b/3, -(√6)b/3）
面积=16=4* (√6)b/3* (√6)b/3,b^2=6,a^2=12
椭圆的方程为：x^2/12+y^2/6=1.