在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ与直线l：θ=π4（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．

Question

在极坐标系中，设圆C₁：ρ=4cosθ 与直线l：θ=(π)/(4) （ρ∈R）交于A，B两点．
（Ⅰ）求以AB为直径的圆C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）在圆C₁任取一点M，在圆C₂上任取一点N，求|MN|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ） 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得
圆C₁：ρ=4cosθ 化为ρ²=4ρcosθ，∴圆C₁的直角坐标方程 x²+y²-4x=0．
直线l的直角坐标方程 y=x．
由

x2+y2-4x=0

y=x

，解得

x=0

y=0

或 

x=2

y=2

．
∴A（0，0），B（2，2）．
从而圆C₂的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，即x²+y²=2x+2y．
将其化为极坐标方程为：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ．
（Ⅱ）∵C1(2，0)，r1=2，C2(1，1)，r2=√(2)，
∴|MN|_max=|C₁C₂|+r₁+r₂=√(2)+2+√(2)=2√(2)+2．