（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，点D是AB的中点（Ⅰ）求证：AC⊥BC1（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值

Question

（本题满分12分）如图， 在直三棱柱ABC－A ₁ B ₁ C ₁ 中，AC＝3，BC＝4， ，AA ₁ ＝4，点D是AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC ₁
（Ⅱ）求二面角 的平面角的正切值

Answer 1

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A ₁ B ₁ C ₁ ，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                       …………………2分
又 AC⊥ ，且
∴ AC⊥平面BCC ₁ ，又 平面BCC ₁         ……………………………………4分
∴ AC⊥BC ₁                             ……………………………………5分
（Ⅱ）解法一：取 中点 ，过 作 于 ，连接     

是 中点，
∴  ，又 平面
∴ 平面 ，
又 平面 ， 平面
∴
∴  又 且  
∴ 平面 ， 平面     
∴   又
∴ 是二面角 的平面角             …………………………10分
AC＝3，BC＝4，AA ₁ ＝4，
∴在 中， ， ，
∴               ……………………………………11分
∴二面角 的正切值

作业帮用户 2016-11-28

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