真心求教~在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC垂直于侧面ABB1A1,AA1=2AB,求锐二面角A1-BC-A的正弦值用几何方法~

Question

真心求教~
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC垂直于侧面ABB1A1,AA1=2AB,求锐二面角A1-BC-A的正弦值
用几何方法~

Answer 1

过A点做A1B的垂线 交A1B于D
平面A1BC⊥侧面ABB1A1,且两面的交线为A1B
所以 AD⊥平面A1BC,
又BC∈平面A1BC
所以 AD⊥BC
因为是直三棱柱 所以AA1⊥BC
所以 BC⊥(AD与AA1所决定的)平面ABB1A1
A1B与AB∈平面ABB1A1
所以 BC⊥A1B,BC⊥AB
所以锐二面角A1-BC-A其实就是角A1BA
SINA1BA=A1A/A1B=2AB/√(A1A^2+AB^2)=2AB/√5*AB=2√5/5