如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=√(2)．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

（1）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
PA=1，PD=√(2)，
所以PD²=PA²+AD²，
所以PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD．
（2）四棱锥P-ABCD的底面积为1，
因为PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的高为1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=(1)/(3)×1×1＝(1)/(3)．
（3）∵PA⊥平面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，
∴PD=PB=√(2)，PD⊥DC，PB⊥BC，
∴四棱锥P-ABCD的表面积：
S=S_{正方形ABCD}+S_△PAB+S_△PAD+S_△PDC+S_△PBC
=1×1+(1)/(2)×1×1+(1)/(2)×1×1+(1)/(2)×√(2)×1+(1)/(2)×√(2)×1
=2+√(2)．