等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB=CEEA=12（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B

Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足 (AD)/(DB) =(CE)/(EA) =(1)/(2) （如图1）．将△ADE沿DE折起到△A ₁ DE的位置，使二面角A ₁ -DE-B成直二面角，连结A ₁ B、A ₁ C （如图2）．



（1）求证：A ₁ D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA ₁ 与平面A ₁ BD所成的角为60 ⁰ ？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵正△ABC的边长为3，且 (AD)/(DB) = (CE)/(EA) = (1)/(2)


∴AD=1，AE=2，
△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得
DE=

1 2 + 2 2 -2×1×2×cos60°

=

3

∵AD ² +DE ² =4=AE ² ，∴AD⊥DE．
折叠后，仍有A ₁ D⊥DE
∵二面角A ₁ -DE-B成直二面角，∴平面A ₁ DE⊥平面BCDE
又∵平面A ₁ DE∩平面BCDE=DE，A ₁ D⊂平面A ₁ DE，A ₁ D⊥DE
∴A ₁ D丄平面BCED；
（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA ₁ 与平面A ₁ BD所成的角为60°
如图，作PH⊥BD于点H，连接A ₁ H、A ₁ P
由（1）得A ₁ D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED
所以A ₁ D丄PH


∵A ₁ D、BD是平面A ₁ BD内的相交直线，
∴PH⊥平面A ₁ BD
由此可得∠PA ₁ H是直线PA ₁ 与平面A ₁ BD所成的角，即∠PA ₁ H=60°
设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°= (x)/(2) ，PH=PBsin60°= (3)/(2) x
在Rt△PA ₁ H中，∠PA ₁ H=60°，所以A ₁ H= (x)/(2) ，
在Rt△DA ₁ H中，A ₁ D=1，DH=2- (1)/(2) x
由A ₁ D ² +DH ² =A ₁ H ² ，得1 ² +（2- (1)/(2) x） ² =（ (1)/(2) x） ²
解之得x= (5)/(2) ，满足0≤x≤3符合题意
所以在线段BC上存在点P，使直线PA ₁ 与平面A ₁ BD所成的角为60°，此时PB= (5)/(2) ．