如图，已知直线a∥b，a、b之间的距离为4cm．A、B是直线a上的两个定点，C、D是直线b上的两个动点（点C在点D的左侧），且AB=CD=10cm，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC翻折得△A1BC．（1）当A1、D两点

Question

如图，已知直线a∥b，a、b之间的距离为4cm．A、B是直线a上的两个定点，C、D是直线b上的两个动点（点C在点D的左侧），且AB=CD=10cm，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC翻折得△A₁BC．

（1）当A₁、D两点重合时，AC=___cm；
（2）当A₁、D两点不重合时，
①连接A₁D，求证：A₁D∥BC；
②若以点A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．

Answer 1

（1）当A₁、D两点重合时，如图1①和图1②，


∵CD∥AB，CD=AB，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，A₁、D两点重合，
∴AC=A₁C=DC．
∴平行四边形ACDB是菱形．
∴AC=AB=10（cm）．
故答案为：10．

（2）当A₁、D两点不重合时，
①A₁D∥BC．
证明：过点A₁作A₁E⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图2，

∵CD∥AB，CD=AB，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∴S_△ABC=S_△DBC．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴S_△ABC=S_△A1BC．
∴S_△DBC=S_△A1BC．
∴(1)/(2)BC•DF=(1)/(2)BC•A₁E．
∴DF=A₁E．
∵A₁E⊥BC，DF⊥BC，
∴∠A₁EB=∠DFB=90°．
∴A₁E∥DF．
∴四边形A₁DFE是平行四边形．
∴A₁D∥EF．
∴A₁D∥BC．
②Ⅰ．如图3①，

过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH<BH．
∵四边形A₁DBC是矩形，
∴∠A₁CB=90°．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴∠ACB=∠A₁CB．
∴∠ACB=90°．
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=∠CHB=90°．
∴∠ACH=90°-∠HCB=∠CBH．
∴△AHC∽△CHB．
∴(AH)/(CH)=(CH)/(BH)．
∴CH²=AH•BH．
∵AB=10，CH=4，
∴3=AH•（10-AH）．
解得：AH=2或AH=8．
∵AH<BH，
∴AH=2．
∴AC²=CH²+AH²=16+4=20．
∴AC=2√(5)．
Ⅱ．如图3②，

过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH>BH．
同理可得：AH=8．
∴AC²=CH²+AH²=16+64=80．
∴AC=4√(5)．
Ⅲ．如图3③，

∵四边形A₁DCB是矩形，
∴∠A₁BC=90°．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴∠ABC=∠A₁BC．
∴∠ABC=90°．
∴AC²=BC²+AB²=16+100=116．
∴AC=2√(29)．
综上所述；当以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，AC的长为2√(5)或24√(5)或2√(29)．