设D是有界闭区域，下列命题中错误的是（）A．若f（x，y）在D连续，对D的任何子区域D0均有∬D0f（x，y）dσ=0，则f（x，y）≡0（∀（x，y∈D）B．若f（x，y）在D可积，f（x，y）≥0但不恒

Question

设D是有界闭区域，下列命题中错误的是（　　）

A．若f（x，y）在D连续，对D的任何子区域D₀均有

∬

D0

f（x，y）dσ=0，则f（x，y）≡0（∀（x，y∈D）
B．若f（x，y）在D可积，f（x，y）≥0但不恒等于0（（x，y）∈D，则

∬

D

f（x，y）＞0
C．若f（x，y）在D连续，

∬

D

f²（x，y）dσ=0，则f（x，y）≡0（（x，y）∈D）
D．若f（x，y）在D连续，f（x，y）＞0（（x，y）∈D），则

∬

D

f（x，y）dσ＞0

Answer 1

选项A正确：
如果f（x，y）≡0不成立，则存在P₀（x₀，y₀）∈D，使得f（x₀，y₀）≠0，不妨设f（x₀，y₀）＞0．
由连续函数的性质可得，

lim

(x，y)→(x0，y0)

f(x，y)=f（x₀，y₀），
对于ɛ＝(f(x0，y0))/(2)＞0，存在δ＞0，当（x，y）∈D₀={（x，y）|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜δ} 时，
|f（x，y）-f（x₀，y₀）|＜(f(x0，y0))/(2)，
从而 f（x，y）＞f（x₀，y₀）-(f(x0，y0))/(2)=(f(x0，y0))/(2)．
对于D₀={（x，y）|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜δ}，

∬

D0

f(x，y)dxdy＞(f(x0，y0))/(2)•πδ²＞0，
与已知矛盾．
故假设不成立，从而f（x，y）≡0．
选项B错误：
取D={（x，y）|x²+y²≤1}，f（x，y）=

0，  0＜x2+y2≤1

1，  (x，y)＝(0，0)

，则f（x，y）≥0且恒不为0，但

∬

D

f(x，y)dxdy=0．
选项C正确：
因为f（x，y）在D连续，故f²（x，y）在D连续．
因为

∬

D

f2(x，y)dxdy=0，
故对于对D的任何子区域D₀均有0≤

∬

D0

f2(x，y)dxdy≤

∬

D

f2(x，y)dxdy=0，
故

∬

D0

f2(x，y)dxdy=0．
从而由选项A可得，f²（x，y）≡0，故f（x，y）≡0．
选项D正确：
若f（x，y）在D连续，则f（x，y）在D上可积．
利用积分中值定理可得，存在P（ξ，η）∈D，
使得

∬

D

f(x，y)dxdy=f（ξ，η）meas（D）．
又因为f（x，y）＞0，
故

∬

D

f(x，y)dxdy＞0．
综上，错误选项为B．
故选：B．