如图，边长为2的等边三角形ABC中，D为BC的中点，将△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C，点E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：BC∥平面DEF；（2）求多面体D-BCEF的体积．

Question

如图，边长为2的等边三角形ABC中，D为BC的中点，将△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C，点E，F分别是AB，AC的中点．

（1）求证：BC∥平面DEF；
（2）求多面体D-BCEF的体积．

Answer 1

证明：（1）因为点E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC．
又因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，
所以BC∥平面DEF．  …（5分）
（2）依题意，AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩DC=D，
所以AD⊥平面BCD，
又因为二面角B-AD-C为直二面角，所以BD⊥CD，
所以V三棱锥A-BCD=(1)/(3)S△BCD•AD=(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×√(3)=(√(3))/(6)，
V三棱锥F-ADE=(1)/(3)S△ADE•(1)/(2)CD=(1)/(3)×(1)/(2)×√(3)×(1)/(2)×(1)/(2)×1=(√(3))/(24)，
所以VD-BCFE=V三棱锥A-BCD-V三棱锥F-ADE=(√(3))/(6)-(√(3))/(24)=(√(3))/(8)．  …（12分）