等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB=CEEA=12．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B、A1C．（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）求A1E与

Question

等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足(AD)/(DB)=(CE)/(EA)=(1)/(2)．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连接A₁B、A₁C．

（1）求证：A₁D⊥平面BCED；
（2）求A₁E与平面A₁BC所成角的正弦值．
（3）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由题知在图1中，在△ADE中，AD=1，AE=2，
则DE²=AD²+AE²-2AD•AE•cosA=3，
即得：DE=√(3)，所以AE²=AD²+DE²，
即得∠ADE=90°，
则在图2中，有A₁D⊥DE，BD⊥DE，
二面角A₁-DE-B的平面角∠A₁DB=90°，
即得A₁D⊥BD，
∵A₁D⊥BD，A₁D⊥DE，且BD，DE⊂平面BCDE，
BD∩DE=D，∴A₁D⊥平面BCED．
（2）由（1）知：A₁D⊥BD，A₁D⊥DE，BD⊥DE，
所以以D为空间直角坐标系的原点，
以DB、DE、DA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A₁（0，0，1），E（0，√(3)，0），B（2，0，0），C（(1)/(2)，(3√(3))/(2)，0），
∴

BC

＝(−(3)/(2)，(3√(3))/(2)，0)，

BA1

=（-2，0，1），

A1E

=（0，√(3)，-1），
令平面A₁BC的法向量为

n

＝(x，y，z)，
由

n

•

BC

＝−(3)/(2)x+(3√(3))/(2)y＝0

n

•

BA1

＝−2x+z＝0

，得

n

=（1，(1)/(√(3))，2），
记A₁E与平面A₁BC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

A1E

＞|=|(0+1−2)/(√(4)•√(1+4+(1)/(3)))|=(√(3))/(8)．
∴A₁E与平面A₁BC所成角的正弦值为(√(3))/(8)．
（3）假设在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°．
令

BP

＝λ

BC

，
则

PA1

=

BA1

−

BP

=（(3)/(2)λ−2，−(3√(3))/(2)λ，1），
而平面A₁BD的一个法向量为

m

=（0，1，0），
则由|(PA1•m)/(|m|•|PA1|)|=(√(3))/(2)，解得λ＝(5)/(6)，
∴在线段BC上存在点P，使得直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，此时PB=(5)/(2)．