空间距离题长方形ABCD中,AB=4,BC=7,在BC边上任取一点E,把纸片沿AE折成直二面角,则点E在何处时,折起后两个端点B,D之间的距离最短?

Question

空间距离题
长方形ABCD中,AB=4,BC=7,在BC边上任取一点E,把纸片沿AE折成直二面角,则点E在何处时,折起后两个端点B,D之间的距离最短?

Answer 1

我使用了很麻烦的方法推导了出来..估计是有简便方法的.
设角AEB=X,从B向AE作垂线交于G,连接DG,根据题目要求折起之后BD距离
由于BG垂直AE,折起后BG垂直与面AECD,也就是BG垂直DG（注意是折起后,这里其实应该是B’),所以BD^2=BG^2+DG^2
这就把问题简化成求BG^2+DG^2的最小值.
根据AB=4,BC=7,角AEB=X可以得到：
BG=4cosX
DG^2=(4sinXsinX)^2+(7-4sinXcosX)^2
经过化简得到BG^2+DG^2=65-56sinXcosX=65-28sin2X
要想这个值最小,也就是sin2X最大,2X=90度,也就是X=45度.而这时E点在离B点4处.