在直二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos2x+cos2y+sin2z的值为（）A．2B．2C．3D．3

Question

在直二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成角为z，则cos ² x+cos ² y+sin ² z的值为（　　）

A． 2

B．2

C．3

D． 3

Answer 1

过A、B分别作AC⊥l于C，BD⊥l于D，过B作直线平行于l，过C作直线平行于BD，两直线交于E，连接AD、AC、AE．
因α一l一β为直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．
又∠BAD、∠ABC分别为AB与α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．
又EC ∥ BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．
∴cos ² x+cos ² y+sin ² z= (AD2)/(AB2) +(BC2)/(AB2) + (AE2)/(AB2) =2
故选B．