如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设BM=x，CN=y，AP=z，且x+y+z=1．（1）试用x，y，z表示△MNP的面积（2）求△MNP面积的最大值．

Question

如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设BM=x，CN=y，AP=z，且x+y+z=1．
（1）试用x，y，z表示△MNP的面积
（2）求△MNP面积的最大值．

Answer 1

（1）∵正三角形ABC的边长为l，
∴AB=BC=AC=1，
∵BM=x，CN=y，AP=z，
∴MC=1-x，NA=1-y，PB=1-z，
∴S_△MNP=S_△ABC-S_△PBM-S_△MCN-S_△NAP=(√(3))/(4)-(1)/(2)x（1-z）(√(3))/(2)-(1)/(2)（1-x）y(√(3))/(2)-(1)/(2)（1-y）z(√(3))/(2)=(√(3))/(4)-(√(3))/(4)[x+y+z-（xy+yz+zx）]=(√(3))/(4)（xy+yz+zx）；

（2）∵x+y+z=1，
∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1，
∵x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
∴xy+yz+zx≤(1)/(3)（当x=y=z=(1)/(3)时，等号成立），
∴S_△MNP=(√(3))/(4)（xy+yz+zx）≤(√(3))/(12)．