（2011•重庆二模）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=43，M、N分别是PB、AB的中点．（I）求异面直线MN与PD所成角的大小；（II）求二面角P-DN-M的大小．

Question

（2011•重庆二模）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=4√(3)，M、N分别是PB、AB的中点．
（I）求异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）求二面角P-DN-M的大小．

Answer 1

（I）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=4√(3)，M、N分别是PB、AB的中点．
以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则M（2，2，2√(3)），N（4，2，0），P（0，0，4√(3)），D（0，0，0）
则

MN

=（2，0，-2√(3)），

PD

=（0，0，-4√(3)），
设异面直线MN与PD所成角为θ
则cosθ=|

MN

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作业帮用户 2017-11-07

问题解析

（I）以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出异面直线MN与PD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）分别求出平面PDN的一个法向量和平面DMN的一个法向量，代入向量夹角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，进而得到二面角P-DN-M的大小．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，解答此类问题的关键是，建立恰当的空间坐标系，求出对应直线的方向向量及平面的法向量，将空间异面直线的夹角问题及二面角问题转化为向量的夹角问题．

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