如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.

Question

 如图所示，正方体ABCD—A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，M、N分别是A ₁ B ₁ ，B ₁ C ₁ 的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D ₁ B和CC ₁ 是否是异面直线？说明理由.

Answer 1

（1）不是异面直线（2）D ₁ B与CC ₁ 是异面直线

 （1）不是异面直线.理由如下：
∵M、N分别是A ₁ B ₁ 、B ₁ C ₁ 的中点.
∴MN∥A ₁ C ₁ ，
又∵A ₁ A   D ₁ D，而D ₁ D  C ₁ C，∴A ₁ A    C ₁ C，∴四边形A ₁ ACC ₁ 为平行四边形.
∴A ₁ C ₁ ∥AC，得到MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一个平面内，
故AM和CN不是异面直线.
（2）是异面直线，证明如下：
假设D ₁ B与CC ₁ 在同一个平面D ₁ CC ₁ 内，
则B∈平面CC ₁ D ₁ ，C∈平面CC ₁ D ₁ .
∴BC 平面CC ₁ D ₁ ，
这与正方体ABCD—A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中BC⊥面CC ₁ D ₁ 相矛盾.
∴假设不成立，故D ₁ B与CC ₁ 是异面直线.