如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,-3),（2009•永州）如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为（-1,0）、（0,-3）,点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C

Question

如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,- 3),
（2009•永州）如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为（-1,0）、（0,- 3）,点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合）,过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标．

Answer 1

设二次函数y=ax^2+bx+c
因该函数经过点C(0,-3),则c=-3
又该函数经过点A(-1,0),函数一根为-1,它的对称轴为直线X=1,则另一个根为3
代入两根,则a=1,b=-2,二次函数的解析式y=x^2-2x-3；
直线BC y=x-3
点F的坐标（m,m-3）,点P的坐标（m,m^2-2m-3）
线段PF的长=m-3-（m^2-2m-3）=3m-m^2
△PBC面积,边BC长度固定,故△PBC面积取最大值时,点P到BC的距离最大
过点P做垂直BC的线,交BC于点D,则形成直角三角形PFD,PF为斜边,因直线BC
的斜率为1,角PFD=45度,线段PD=（3m-m^2）/（根号下2）,
当m=1.5时,线段PD取最大值
此时点P的坐标（m,m^2-2m-3）为（1.5,3.75）