在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，求：（1）求异面直线C1E与BD所成角的余弦值；（2）求二面角C1-DE-C的余弦值．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，求：
（1）求异面直线C₁E与BD 所成角的余弦值；
（2）求二面角C₁-DE-C的余弦值．

Answer 1

（1）设正方体边长为2，取CD中点为F，连接EF，则EF∥BD，EF=√(2)，C₁E=√(5)，
∴∠FEC₁为异面直线C₁E与BD所成角，
∴cos∠FEC₁=(2+5−5)/(2√(2)•√(5))=(√(10))/(10)；
（2）过C作CH⊥DE于H，连接C₁H，则∠C₁HC就是二面角C₁-DE-C的平面角，
∵CD=2，CE=1，
∴DE=√(5)，
∴CH=(2√(5))/(5)，
∵CC₁=2，∴C₁H=

作业帮用户 2017-09-24

问题解析

（1）取CD中点为F，连接EF，证明∠FEC₁为异面直线C₁E与BD所成角，通过解三角形求出△FEC₁的三边长，然后利用余弦定理求角的余弦值；
（2）过C作CH⊥DE于H，连接C₁H，则∠C₁HC就是二面角C₁-DE-C的平面角，求出CH，C₁H，即可求二面角C₁-DE-C的余弦值．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本题考查了异面直线所成的角的求法，二面角的平面角，训练了利用余弦定理求角，是中档题，正确作出二面角的平面角是关键．

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