设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（x，y）：|x|+|y|≤1}，又设Z=X+Y．试求（Ⅰ）X的概率密度fx（x）和Z的概率密度fz（z）；（Ⅱ）X与Y的相关系数ρXY；（Ⅲ）在X=0条件下

Question

设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（x，y）：|x|+|y|≤1}，又设Z=X+Y．试求
（Ⅰ）X的概率密度f_x（x）和Z的概率密度f_z（z）；
（Ⅱ）X与Y的相关系数ρ_XY；
（Ⅲ）在X=0条件下，Y的条件密度f_Y|X（y|x）．

Answer 1

区域D实际上是以（-1，0），（1，0），（0，1），（0，-1）为顶点的正方形区域，D的面积为2．
二维随机变量（X，Y）的联合概率密度f(x，y)＝

(1)/(2)	，(x，y)∈D
0	，其它

（Ⅰ）①根据边缘概率密度的定义
fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy
∴当-1≤x≤0时，fX(x)＝

∫

1+x −1−x

(1)/(2)dy＝1+x；
当0＜x≤1时，fX(x)＝

∫

1+x x−1

(1)/(2)dy＝1−x；
当x＜-1或x＞1时，由于f（x，y）=0，因而f_X（x）=0
∴fX(x)＝

1+x	，−1≤x≤0
1−x	，0＜x≤1
0	，其它

②设Z=X+Y，则FZ(z)＝

∫∫

x+y≤z

f(x，y)dxdy．
在区域D上，|x|+|y|≤1，所以-1≤z=x+y≤1．
∴当z≤-1时，F_Z（z）=0；当z≥1时，F_Z（z）=1；
当-1＜z＜1时，FZ(z)＝

∫∫

x+y≤z

f(x，y)dxdy=(1+z)/(√(2))•√(2)•(1)/(2)＝(1+z)/(2)
∴FZ(z)＝

0	，z≤−1
(1+z)/(2)	，−1＜z＜1
1	，z≥1

∴Z的概率密度为fZ(z)＝[FZ(z)]′＝

(1)/(2)	，−1＜z＜1
0	，其它

．
（Ⅱ） 由（I）X的概率密度fX(x)＝

1+x	，−1≤x≤0
1−x	，0＜x≤1
0	，其它

为奇函数，因而
EX＝

∫

+∞ −∞

fX(x)dx＝0，EXY＝

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

xyf(x，y)dxdy＝(1)/(2)

∫∫

D

xydxdy＝0，
∴Cov（X，Y）=EXY-EXEY=0
∴ρ_XY=0
（Ⅲ）由f_X（x）≠0，根据条件概率密度公式fX|Y(x|y)＝(f(x，y))/(fY(y))，
得在X=0条件下，Y的条件密度
fY|X(y|x)＝

(1)/(2)	，|y|≤1
0	，其它