如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交边CD于点E．将△BCE绕点C按顺时针方向旋转到△DCF的位置，并且延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）求证：DG是EG和BG的比例中项；（3）若EG•BG

Question

如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交边CD于点E．将△BCE绕点C按顺时针方向旋转到△DCF的位置，并且延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）求证：DG是EG和BG的比例中项；
（3）若EG•BG=4，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△BCE绕点C按顺时针方向旋转得到△DCF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠2=∠1，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
而∠BGD=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG；

（2）证明：∵△BDG∽△DEG，
∴DG：EG=BG：DG，
∴DG²=EG•BG，
∴DG是EG和BG的比例中项；

（3）∵DG²=EG•BG=4，
∴DG=2，
∵∠2=∠1，
而∠5=∠4，
∴∠DGE=∠BCE=90°，
∴BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DG=GF，
∵BE=DF，
∴BE=2DG，
∴BE=2×2=4．