（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果APBP=BPAB，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设APBP=BPAB=k，则k就是黄金比，并且k

Question

（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果 (AP)/(BP) =(BP)/(AB) ，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设 (AP)/(BP) =(BP)/(AB) =k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足 (底)/(腰) =(腰)/(底+腰) ≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：______；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S ₁ 和面积为S ₂ 的两部分（设S ₁ ＜S ₂ ），如果 (S1)/(S2) =(S2)/(S) ，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？

Answer 1

（1）满足 (宽)/(长) =(长)/(宽+长) ≈0.618的矩形是黄金矩形；

（2）由 (BP)/(AB) =k得，BP=1×k=k，从而AP=1-k，
由 (AP)/(BP) =(BP)/(AB) 得，BP ² =AP×AB，
即k ² =（1-k）×1，
解得k= (-1±5)/(2) ，
∵k＞0，
∴k= (5-1)/(2) ≈0.618；

（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以 (AP)/(BP) =(BP)/(AB) ，
设△ABC的AB上的高为h，则
(S△APC)/(S△BPC) =((1)/(2)AP×h)/((1)/(2)BP×h) =(AP)/(BP) ， (S△BPC)/(S△ABC) =((1)/(2)BP×h)/((1)/(2)AB×h) =(BP)/(AB)
∴ (S△APC)/(S△BPC) =(S△BPC)/(S△ABC)
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．

（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．