如图，直线y=-2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn-1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn-1，用S1，S2，S3，…，Sn-1分别

Question

如图，直线y=-2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P₁，P₂，P₃，…，P_n-1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T₁，T₂，T₃，…，T_n-1，用S₁，S₂，S₃，…，S_n-1分别表示Rt△T₁OP₁，Rt△T₂P₁P₂，…，Rt△T_n-1P_n-2P_n-1的面积，则当n=2015时，S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=___．

Answer 1

∵P₁，P₂，P₃，…，P_n-1是x轴上的点，且OP₁=P_1P2=P_2P3=…=P_n-2P_n-1=(1)/(n)，
分别过点p₁、p₂、p₃、…、p_n-2、p_n-1作x轴的垂线交直线y=-2x+2于点T₁，T₂，T₃，…，T_n-1，
∴T₁的横坐标为：(1)/(n)，纵坐标为：2-(2)/(n)，
∴S₁=(1)/(2)×(1)/(n)（2-(2)/(n)）=(1)/(n)（1-(1)/(n)）
同理可得：T₂的横坐标为：(2)/(n)，纵坐标为：2-(4)/(n)，
∴S₂=(1)/(n)（1-(2)/(n)），
T₃的横坐标为：(3)/(n)，纵坐标为：2-(6)/(n)，
S₃=(1)/(n)（1-(3)/(n)）
…
S_n-1=(1)/(n)（1-(n-1)/(n)）
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=(1)/(n)[n-1-(1)/(2)（n-1）]=(1)/(2)×(1)/(n)（n-1）=(n-1)/(2n)，
∵n=2015，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=(1)/(2)×(1)/(2015)×2014=(1007)/(2015)．
故答案为：(1007)/(2015)．