已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线

Question

已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1, ）.过点P(1,1)分别作斜率为k ₁ ,k ₂ 的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k ₁ ;
(3)若k ₁ +k ₂ =1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.

Answer 1

(1) + =1   (2) -    (3)证明见解析  （0,- ）

解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0).
所以2a=|EF|+|EF′|= +
=2 ,
b ² =a ² -c ² =2,
故所求的椭圆的标准方程为 + =1.
(2)设A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),
则 + =1,①
+ =1.②
②-①,得 + =0.
所以k ₁ = =- =- =- .
(3)依题设,k ₁ ≠k ₂ .
设M(x _M ,y _M ),
又直线AB的方程为y-1=k ₁ (x-1),
即y=k ₁ x+(1-k ₁ ),
亦即y=k ₁ x+k ₂ ,
代入椭圆方程并化简得(2+3 )x ² +6k ₁ k ₂ x+3 -6=0.
于是,x _M = ,y _M = ,
同理,x _N = ,y _N = .
当k ₁ k ₂ ≠0时,
直线MN的斜率k= =
= .
直线MN的方程为y- = (x- ),
即y= x+( · + ),
亦即y= x- .
此时直线过定点（0,- ）.
当k ₁ k ₂ =0时,直线MN即为y轴,
此时亦过点（0,- ）.
综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,- ）.