已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1，的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1=1。（1）写出a2，a3和an的表达式；（

Question

已知P _n 是把P _n-1 P _n+1 线段作n等分的分点中最靠近P _n+1 的点，设线段P ₁ P ₂ ，P ₂ P ₃ ，…，P _n P _n+1 ，的长度分别为a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…，a _n ，其中a ₁ =1。
（1）写出a ₂ ，a ₃ 和a _n 的表达式；
（2）证明a ₁ +a ₂ +a ₃ +…+a _n ＜3；
（3）设点M _n （n，a _n ），在这些点中是否存在两个点同时在函数 ）的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）由已知P _{n﹣1 Pn} =（n﹣1）P _n P _n﹣1
令n=2，P ₁ P ₂ =P ₂ P ₃ ，
∴a ₂ =1，同理
。
（2）∵
a ₁ +a ₂ +a ₃ +…+a _n
而n=1时，结论成立，
故a ₁ +a ₂ +a ₃ +…+a _n ＜3；
（3）假设有两个点A（p，a _p ），B（q，a _q ），都在函数 上，
即 ，
所以 ， ，
消去k得 ①，
以下考查数列 的增减情况，
，
当n＞2时，n ² ﹣3n+1＞0，
所以对于数列{b _n }为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在。