已知函数f(x)=2sinx^2+2根号3sinxcosx+1求f（x）的最小正周期及最值求f（x）的单调递增区间求f（x）的对称中心和对称轴求f（x）在0,π/2上的最值

Question

已知函数f(x)=2sinx^2+2根号3sinxcosx+1
求f（x）的最小正周期及最值 求f（x）的单调递增区间 求f（x）的对称中心和对称轴 求f（x）在【0,π/2】上的最值

Answer 1

1）f(x)=2sinx^2+2√3sinxcosx+1
=1-cos2x+√3sin2x+1
=2sin(2x- π/6）+2
f（x）的最小正周期T=2π/2=π,
fmax=2+2=4,fmin=-2+2=0
将2x-π/6看成整体
当2kπ-π/2≤2x-π/6≤2kπ+π/2,f(x)单调递增
即增区间是[kπ-π/6,kπ+π/3],（k∈Z）.
对称中心,即为2x-π/6=kπ时的点,
故对称中心（π/12+kπ/2,2),（k∈Z）.
对称轴为2x-π/6=kπ+π/2,即x=kπ/2+π/3 （k∈Z）
∵x∈[0,π/2]
∴2x-π/6∈[-π/6,5π/6]
则当2x-π/6=π/2,即x=π/3时,fmax=2+2=4
当2x-π/6=-π/6,即x=0时,fmin=2*(-1/2)+2=1