已知在平行四边形ABCD中.AE垂直BC于点E,DF平分角ADC交线段AE于点F,AE等于AD.求CD等于AF加BE

Question

已知在平行四边形ABCD中.AE垂直BC于点E,DF平分角ADC交线段AE于点F,AE等于AD.
求CD等于AF加BE

Answer 1

CD=AF+BE,
理由是：延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠DAE=90°,
∴∠DAG=90°,
在△ABE和△DGA中
AE=AD
∠BEA=∠GAD
BE=AG
∴△ABE≌△DGA,
∴DG=AB=CD,∠1=∠2,
∵平行四边形ABCD,AE⊥BC,
∴∠B=∠ADC=60°=∠G,AE⊥AD,
∴∠1=∠2=30°,
∵DF平分∠ADC,
∴∠3=∠4=30°,
∴∠AFD=60°=∠GDF,
∴DG=GF=AF+AG,
∴CD=AB=DG=AF+BE,
即CD=AF+BE．
（1）中的结论仍然成立．
证明：延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,
∵AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠DAG=90°,
∴∠DAG=90°,
在△ABE和△DGA中
BE=GA
∠GAD=∠BEA
AE=AD
∴△ABE≌△DGA,
∴∠1=∠2,DG=AB,∠B=∠G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°,∠3=∠4,
∴∠GDF=90°-∠4,∠GFD=90°-∠3,
∴∠GDF=∠GFD,
∴GF=GD=AB=CD,
∵GF=AF+AG=AF+BE,
∴CD=AF+BE．
（3）bCD=aAF+bBE,
理由是：延长EA到G,使得
BE
AG
=
a
b
,连接DG,
即AG=
b
a
BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,
∵AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠DAG=90°,
∴∠DAG=90°,
即∠AEB=∠GAD=90°,
∵
AE
AD
=
BE
AG
=
a
b
,
∴△ABE∽△DGA,
∴∠1=∠2,
AB
DG
=
a
b
,
∴∠GFD=90°-∠3,
∵DF平分∠ADC,
∴∠3=∠4,
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．
∴∠GDF=∠GFD,
∴DG=GF,
∵
AB
DG
=
a
b
,AB=CD（已证）,
∴bCD=aDG=a（
b
a
BE+AF）,
即 bCD=aAF+bBE．