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如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点c(0,3)。(1)求此抛物线所对应函数的表达式;(2)若抛物线的顶点为D,在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使
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如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点c(0,3)。 (1)求此抛物线所对应函数的表达式; (2)若抛物线的顶点为D,在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PCD为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1)抛物线与x轴交于点(﹣1,0)和(3,0), 设表达式为y=a(x+1)(x﹣3), 又点(0,3)在抛物线上,则3=a×1×(﹣3), ∴a=﹣1 故所求的表达式为:y=﹣(x+1)(x﹣3), 即y=﹣x 2 +2x+3; (2)存在, 由y=﹣x 2 +2x+3=﹣(x﹣1)2+4知, D点坐标为(1,4),对称轴为x=1, ①若以CD为底边,则PC=PD 设P点坐标为(a,b), 由勾股定理,得:a 2 +(3﹣b) 2 =(a﹣1) 2 +(4﹣b) 2 , 即b=4﹣a. 又点P(a,b)在抛物线上,b=﹣a 2 +2a+3, 则 4﹣a=﹣a 2 +2a+3 整理,得a 2 ﹣3a+1=0, 解,得 (不合题意,舍去) ∴ , 则 , P( ); ②若以CD为一腰,因点P在对称轴右侧的抛物线上, 由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3), 综上所述,符合条件的点P坐标为( )或(2,3)。 |
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