如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-6，0)，B(4，0)，C(0，8)，把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线经过点C，顶点M在直线BC上．(1)证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；(2)求抛物线

Question

如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-6，0)，B(4，0)，C(0，8)，把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线经过点C，顶点M在直线BC上．

(1)证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；____
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式；____
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标；
\n(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为(5，n)，直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；
\n(3)分点P在CD的上面和点P在CD的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标．

(1)证明：∵A(-6，0)，B(4，0)，C(0，8)，
\n∴AB=6+4=10，，
\n∴AB=AC.
\n由翻折可得，AB=BD，AC=CD，
\n∴AB=BD=CD=AC，
\n∴四边形ABCD是菱形，
\n∴CD∥AB.
\n∵C(0，8)，
\n∴点D的坐标是(10，8)；
\n(2)∵，
\n∴对称轴为直线．
\n设M的坐标为(5，n)，直线BC的解析式为y=kx+b，
\n∴
\n解得
\n∴y=-2x+8．
\n∵点M在直线y=-2x+8上，
\n∴n=-2×5+8=-2，
\n∴M(5，-2).
\n又∵抛物线经过点C和M，
\n∴
\n解得
\n∴抛物线的函数表达式为；
\n(3)存在．
\n△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为，．

【点评】(1)要求熟练掌握翻折的性质，菱形的判定和性质；(2)要熟练掌握对称轴公式，待定系数法的运用；(3)的难点是等底等高的三角形面积相等及分类思想的运用．