已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC=13时，求⊙O的半径

Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC=(1)/(3)时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=(1)/(2)BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=(1)/(3)
∴BE=2，cos∠ABC=(1)/(3)
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=(BE)/(cos∠ABC)=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴(OM)/(BE)＝(AO)/(AB)
∴(r)/(2)＝(6−r)/(6)
解得r＝(3)/(2)
∴⊙O的半径为(3)/(2)．