如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．

（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线；
（2） 过O作OG⊥BC，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∴BC=BG+GC=6+10=16，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴(OA)/(AB)=(OD)/(BC)，即(OA)/(OA+10)=(10)/(16)，
解得：OA=(50)/(3)，
∴AB=(50)/(3)+10=(80)/(3)，
连接EF，
∵BF为圆的直径，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴(BE)/(BC)=(BF)/(AB)，即(BE)/(16)=(20)/((80)/(3))，
解得：BE=12．