求位于曲线Y=X的平方于直线Y=KX+1所围平面图形的面积,问k为何值时该面积最小

Question

求位于曲线Y=X的平方于直线Y=KX+1所围平面图形的面积,问k为何值时该面积最小

Answer 1

这是一道定积分的题目.
先求积分上下限：
y=x^2与y=kx+1的交点为（sqrt表示开根号）
x1=k/2+0.5sqrt(k^2+4)与x2=k/2-0.5sqrt(k^2+4)
积分表达式为(积分上下限就不写了)
∫（kx+1-x^2）dx=0.5*kx^2+x-(1/3)x^3
把x1-x2=sqrt(k^2+4)带入上面的k,就是面积值了
(1-（k^2+4）/3)*sqrt(k^2+4)+0.5k^3+2k
通过直观判断,可以得到k=0时面积是最小的
上面的最小面积问题也可以通过对k进行求导求极值的方法来做,最后得到的结果是一样的
希望能帮到您哈!