求由抛物线y^2=x和直线x-y=0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周而得的转体的体积

Question

求由抛物线y^2=x和直线x-y=0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周而得的转体的体积

Answer 1

求由抛物线y²=x和直线x-y=0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周而得的转体的体积

抛物线y²=x与直线y=x相交于(1,1).

绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V₁=[0,1]π∫[(√x)²-x²]dx=[0,1]π∫[(x-x²)dx=π[x²/2-x³/3]︱[0,1]

=π(1/2-1/3)=π/6

绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V₂=[0,1]π∫[y²-y⁴)dy=π[y³/3-(1/5)(y^5)]︱[0,1]=π[1/3-1/5]

=2π/15.