（2012•怀柔区二模）定义：对于任意n∈N*，满足条件an+an+22≤an+1且an≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列an称为T数列．（1）若an=-n2+9n（n∈N*），证明：数列an是T数列；（2）设数列bn的通项为

Question

（2012•怀柔区二模）定义：对于任意n∈N^*，满足条件(an+an+2)/(2)≤an+1且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为bn＝50n−((3)/(2))n，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列cn＝|(p)/(n)−1|（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．

Answer 1

（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以数列a_n满足(an+an+2)/(2)≤an+1．（2分）
又an＝−(n−(9)/(2))2+(81)/(4)，当n=4或5时，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
综上，数列a_n是T数列．（4分）
（2）因为bn+1−bn＝50(n+1)−((3)/(2))n+1−50n+((3)/(2))n＝50−(1)/(2)((3)/(2))n，
所以当50−(1)/(2)((3)/(2))n≥0即n≤11时，b_n+1-b_n＞0，此时数列b_n单调递增（6分）
当n≥12时，b_n+1-b_n＜0，此时数列b_n单调递减；故数列b_n的最大项是b₁₂，
所以，M的取值范围是M≥600−((3)/(2))12（9分）
（3）①当1＜p≤2时，当n=1时c1＝p−1，c2＝1−(p)/(2)，c3＝1−(p)/(3)，
由c1+c3−2c2＝(5p)/(3)−2≤0得p≤(6)/(5)，
即当1＜p≤(6)/(5)时符合(cn+cn+2)/(2)≤cn+1条件．（11分）
若n≥2，则(p)/(n)≤1，此时cn＝1−(p)/(n)
于是cn+cn+2−2cn+1＝(1−(p)/(n))+(1−(p)/(n+2))−2(1−(p)/(n+1))＝(−2p)/(n(n+1)(n+2))＜0
又对于n∈N^*有