1）已知数列{an},{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且lim(an/bn)=1/2,求极限lim（1/(a1b1)+1/(a2b2)+...+1/(anbn)）的值.2）已知等差数列{an}的公差为2,a1=3.Tn=(1/S1)+(1/S2)+...+(1/Sn),其中Sn

Question

1）已知数列{an},{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且lim(an/bn)=1/2,求极限lim（1/(a1b1)+1/(a2b2)+...+1/(anbn)）的值.
2）已知等差数列{an}的公差为2,a1=3.Tn=(1/S1)+(1/S2)+...+(1/Sn),其中Sn（n属于N*）为前n项的和,试求lim（Tn)的值.

Answer 1

1、设公差是d1和d2,则2(2+d2)=3+d1+3+2d1=6+3d1.
可以推得：2d2=2+3d1.①
又因为lim(an/bn)=lim{[3+(n-1)d1]/[2+(n-1)d2]}=d1/d2=1/2.②
所以由①②可得：d1=2,d2=4.
所以an=2n+1,bn=4n-2.
1/anbn=[1/(2n+1)(2n-1)]/2=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/4.
所以lim[1/a1b1+1/a2b2+……+1/anbn]
=lim[1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/4
=lim[2n/(2n+1)]/4
=1/4.
2、易知Sn=n²+2n.所以1/Sn=1/n(n+2)=[1/n-1/(n+2)]/2.
所以limTn=lim[1-1/3+1/2-1/4+……+1/n-1/(n+2)]/2
=lim[1+1/2-1/(n-1)-1/(n+2)]/2
=3/4.