是否存在复数z,使其满足z'*z+2iz'=3+ai(a∈R)?如果存在,求出z的值,如果不存在,请说明理由..（z'为复数z的共轭复数）

Question

是否存在复数z,使其满足z'*z+2iz'=3+ai(a∈R)?如果存在,求出z的值,如果不存在,请说明理由..（z'为复数z的共轭复数）

Answer 1

设z=m+ni（m、n∈R）
z'=m-ni
z'*z+2iz'=（m+ni）（m-ni）+2i（m-ni）
=（m²+n²）+2mi+2n
=（m²+n²+2n）+2mi
如果z'*z+2iz'=3+ai（a∈R）
那么m²+n²+2n=3
m²=-（n²+2n-3）=-（n+3）（n-1）
因为m²≥0
所以-（n+3）（n-1）≥0
（n+3）（n-1）≤0
-3≤n≤1时,能得到m值
所以当-3≤n≤1时,m=±√（-（n+3）（n-1））,这时候z=m+ni符合要求.
例如当n=-1时,令m=√（-（n+3）（n-1））=2,令z=2-i
z'*z+2iz'=（2-i）（2+i）+2i（2+i）=（2²+1）+4i-2=3+4i符合要求.