已知，对于任意的多项式f（x）与任意复数z，f（z）=0⇔x-z整除f（x）．利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：x2+x+1；（2）求所有满足x2+x+1整除x2n+xn+1的正整数n构成的集

Question

已知，对于任意的多项式f（x）与任意复数z，f（z）=0⇔x-z整除f（x）．利用上述定理解决下列问题：
（1）在复数范围内分解因式：x²+x+1；
（2）求所有满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1的正整数n构成的集合A．

Answer 1

（1）令x²+x+1=0解得两个根ω，ω²，这里ω＝−(1)/(2)+(√(3))/(2)i
所以x2+x+1＝(x−ω)(x−ω2)＝(x+(1)/(2)−(√(3))/(2)i)(x+(1)/(2)+(√(3))/(2)i)
（2）记f（x）=x²ⁿ+xⁿ+1．x²+x+1=0有两个根ω，ω²，
这里ω＝−(1)/(2)+(√(3))/(2)i，且ω³=1，
当n=3k+1，k∈N时，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=ω²+ω+1=0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=ω+ω²+1=0，
故此时满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
当n=3k+2，k∈N时，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=ω+ω²+1=0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=ω²+ω+1=0，
故此时满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
当n=3k，k∈N时，
f（ω）=ω²ⁿ+ωⁿ+1=1+1+1≠0，
f（ω²）=ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=1+1+1=0，
故此时不满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1，
综上所述：所有满足x²+x+1整除x²ⁿ+xⁿ+1的正整数n构成的集合A={n|n=3k+1或n=3k+2，k∈N}