（2013•厦门模拟）某同学在研究函数f（x）=x2+1+x2−6x+10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=(x−0)2+(0−1)2+(x−3)2+[0−(−1)]2，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），下列关

Question

（2013•厦门模拟）某同学在研究函数f（x）=√(x2+1)+√(x2−6x+10)的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=√((x−0)2+(0−1)2)+√((x−3)2+[0−(−1)]2)，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），下列关于函数f（x）的描述正确的是______．（填上所有正确结论的序号）
①f（x）的图象是中心对称图形； 
②f（x）的图象是轴对称图形；
③函数f（x）的值域为[√(13)，+∞）；
④方程f[f（x）]=1+√(10)有两个解．

Answer 1

①因为f（-x）=√(x2+1)+√(x2+6x+10)≠−f(x)，所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．
②因为f((3)/(2)−x)＝√(((3)/(2)−x)2+1)+√(((3)/(2)−x−3)2+1)＝√((x−(3)/(2))2+1)+√((x+(3)/(2))2+1)，
f((3)/(2)+x)＝√(((3)/(2)+x)2+1)+√(((3)/(2)+x−3)2+1)＝√((x−(3)/(2))2+1)+√((x+(3)/(2))2+1)，所以f((3)/(2)+x)＝f((3)/(2)−x)，即函数关于x=(3)/(2)对称，所以②正确．
③由题意值f（x）≥|AB|，而|AB|=√(32+(−1−1)2)＝√(9+4)＝√(13)，所以f（x）≥√(13)，即函数f（x）的值域为[√(13)，+∞），正确．
④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+√(10)，等价为f（t）=1+√(10)，即√(t2+1)+√((t−3)2+1)=1+√(10)，所以t=0，或t=3．
因为函数f（x）≥√(13)，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．
故答案为：②③