高一向量题目.急.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,且e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角,求实数t的取值范围我解出来是个4次的方程不知道怎么解了

Question

高一 向量 题目.急.
设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,且e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为锐角,求实数t的取值范围
我解出来是个4次的方程 不知道怎么解了

Answer 1

2te1+7e2与e1+te2的夹角余弦为
cosa=(2te1+7e2)(e1+te2)/|2te1+7e2||e1+te2|
=(2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2)/|2te1+7e2||e1+te2|
因为夹角为锐角
则2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2>0
且(2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2)/|2te1^2+(2t^2+7)e1e2+7te2^2|0时,满足以上两个条件.
而|e1|=2,|e2|=1
则e1^2=e2^2=1
而e1,e2的夹角为60°
则
cos60°=e1e2/|e1||e2|=1
则e1e2=1/2*|e1||e2|=1
则8t+(2t^2+7t)*1+7>0
则2t^2+15t+7>0
（t+7)(2t+1)>0,
且
所以恒成立,则t>-1/2,t