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试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx^2+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根满足条件.
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试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx^2+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根满足条件.
▼优质解答
答案和解析
两根为x1,x2,则
x1+x2=2/r-1,
x1*x2=3-2/r,
故2/r=n为整数.
由此可得
x1+x2=-n-1
x1*x2=3-n
(x1-x2)^2=n^2+6n-11=m^2,m为整数,于是
(n+3)^2-20=m^2,(n+m+3)(n-m+3)=20
因为两个括号同奇偶,故n+m+3=10,n-m+3=2,n=3,r=2/3,x1=-4,x2=0
x1+x2=2/r-1,
x1*x2=3-2/r,
故2/r=n为整数.
由此可得
x1+x2=-n-1
x1*x2=3-n
(x1-x2)^2=n^2+6n-11=m^2,m为整数,于是
(n+3)^2-20=m^2,(n+m+3)(n-m+3)=20
因为两个括号同奇偶,故n+m+3=10,n-m+3=2,n=3,r=2/3,x1=-4,x2=0
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